عالم الأحياء والإحصاء رونالد فيشر
يقال في الإحصاء، عن إحصائية إنها كافية (sufficient statistics) بالنسبة لنموذج إحصائي ما والمعلمة (parameter) غير المعروفه المرتبطة به إذا لم يكن هناك أي إحصائية أخرى يمكن حسابها من نفس العينة ويمكن أن توفر أي معلومات إضافية عن قيمة هذه المعلمة. بالنسبة لمجموعة $ X $ من البيانات المستقلة التي تتبع توزيعاً مشروطاً على المعلمة غير المعروفه $\theta $، إذا كانت الدالة $T (X)$ هي إحصائية كافية تحوي كل المعلومات اللازمة لحساب أي تقدير للمعلمة $\theta $، فإنه إعتماداً على نظرية تحليل العوامل ( factorization theorem) ، يمكن كتابة التوزيع المشترك لإحصاء كاف كما يلي:
\[
p(X;\theta)=h(X )g(\theta ,T(X)),
\]
مثال: توزيع برنولي (Bernoulli distribution)
بأخذ عينة عشوائية $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ من توزيع برنولي، فإن دالة الكثافة الإحتمالية ( probability density function ) يمكن كتابتها كما يلي:
\[
f\left( x_{i};p\right) =p^{x_{i}}\left( 1-p\right) ^{1-x_{i}}
\]
بالتالي دالة الإحتمال ( likelihood function ) يمكن أن تكتب كما يلي:
\begin{eqnarray*}
L\left( \mathbf{x}|p\right) &=&\prod\limits_{i=1}^{n}p^{x_{i}}\left(
1-p\right) ^{1-x_{i}} \\
&=&p^{\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}}\left( 1-p\right)
^{n-\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}} \\
&=&\left( \frac{p}{1-p}\right) ^{\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}}\left(
1-p\right) ^{n} \\
&=&\left( \frac{p}{1-p}\right) ^{t}\left( 1-p\right) ^{n}
\end{eqnarray*}
حيث $t=\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}$ . الآن نستطيع أن نقول أن دالة الإحتمل المشتركة يمكن كتابتها على الشكل:
\[
L\left( \mathbf{x}|p\right) =g(p,t)h(x)
\]
حيث $h(x)=1$ وكذلك $g(p,t)=\left( \frac{p}{1-p}\right) ^{t}\left( 1-p\right) ^{n}$. وفقاً لنظرية فيشر لتحليل العوامل، نستطيع القول أن
\[
T(X)=\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}
\]
إحصائية كافية للمعلمة $p$.