المتغيرات العشوائية

المتغير العشوائي (random variable) هو متغير يمثل النتائج العددية لظاهرة عشوائية. يجب أن يكون المتغير العشوائي قابل للقياس. وهناك نوعين من المتغيرات العشوائية وهي:

1. المتغيرات العشوائية المنفصلة (discrete random variable). مثلاً، عدد الأطفال في الإسرة لمدينة ما او عدد المرضى في عيادات السكري في إحدى المناطق. في الغالب يكون المتغير العشوائي المنفصل معدود وليس دائماً.
2. المتغيرات العشوائية المتصلة (continuous random variable).مثلاً، أوزان طلاب مدرسة معينة أو سرعة السيارات على إحدى الطرق السريعه.

وبالتالي يمكن تعريف التوزيع الإحتمالي (probability distribution) بأنه وصف لظاهرة عشوائية معينة من حيث احتمالات وقوع الأحداث. وهذا يعني أن المتغير العشوائي يمكن أن يتبع توزيعاً إحتمالياً معيناً. وهناك نوعين من التوزيعات الإحتمالية:

اولاً: التوزيعات الإحتمالية المنفصلة مثل: توزيع برنولي (Bernouli distribution) و توزيع ذات الحدين (Binomial distribution). يمكن أن توصف بدالة الكتلة الإحتمالية (probability mass function) والتي تمثل بالدالة:

1. \[
   f(x)=P(X=x)
   \]

حيث تمثل إحتمال أن يأخذ المتغير العشوائي $X$ قيمة معية $x$. ومن خصائصها:

a) $f(x_i)\geq 0, \text{ for } i=1,…,n.$

b) $\sum_{i=1}^{n}f(x_i)=1$

كما يمكن وصف التوزيع الإحتمالي المنفصل بدالة التوزيع التراكمي (cumulative distribution function) والتي تمثل بالدالة:

\[F(x)= P(X\leq x)=\sum_{u\leq x}f(u)\]

ومن خصائصها:

a) $F(x)\leq F(y)$ if $x\leq y.$
b) $\lim_{n \to -\infty}F(x)=0$;$\lim_{n \to +\infty}F(x)=1$

ثانياً: التوزيعات الإحتمالية المتصلة مثل: التوزيع الطبيعي (Normal distribution) والتوزيع الأسي (Exponential distribution). يمكن أن توصف بدالة الكثافة الإحتمالية (probability density function) والتي تمثل بالدالة:

\[
f(x)=P(X=x)
\]

حيث تمثل إحتمال أن يأخذ المتغير العشوائي $X$ قيمة معية $x$. ومن خصائصها:

a) $f(x_i)\geq 0, \text{ for } i=1,…,n.$

b) $\int_{-\infty }^{\infty}f(x)dx=1$

كما يمكن وصف التوزيع الإحتمالي المتصل بدالة التوزيع التراكمي (cumulative distribution function) والتي تمثل بالدالة:

\[F(x)= P(X\leq x)=\int_{-\infty }^{x}f(u)du\]

مثال(1): في تجربة رمي عملة معدنية تحمل وجهين أحدهما شعار (H) والآخر كتابة (T)، إذا كان $x$ متغير عشوائي يمثل نتيجة هذه التجربة، فما هو نوعه وأي توزيع إحتمالي يتبع؟

نفرض أن:

\begin{equation}
x=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{ if } T \\
1 & \text{ if } H
\end{matrix}\right.
\end{equation}

وبالتالي $x$ متغير عشوائي يتبع توزيع برنولي.