الدالة المولدة للعزوم

مثال(1): الدالة المولدة للعزوم للتوزيع الأسي

نفرض أن $X$ يتبع التوزيع الأسي (Exponential distribution)، حيث أن دالة الكثافة الإحتمالية (probability density function) تعطى كما يلي:

$$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0.$$

بالتالي الدالة المولدة للعزوم (the moment generating function) يمكن إيجادها كما يلي:

$$\begin{array}{rcl}{M}_X\left(t\right)& =& E\left(e^{tx}\right)\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{tx}\lambda e^{-\lambda x}dx\\ & =& \lambda {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{(t-\lambda )x}dx\\ & =& \frac{\lambda -t}{\lambda -t}\times \lambda {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(\lambda -t)x}dx\\ & =& \frac{\lambda }{\lambda -t}\underset{1}{\underbrace{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\lambda -t)e^{-(\lambda -t)x}dx}}\\ & =& \frac{\lambda }{\lambda -t},t<\lambda \end{array}$$

يمكن حساب التوقع كما يلي:

$$\begin{array}{rcl}E(x)& =& M_X^{\prime }(t=0)\\ & =& {\frac{\lambda }{{(\lambda -t)}^2}|}_{t=0}\\ & =& \frac{1}{\lambda }\end{array}$$
كذلك، يمكن حساب التباين كما يلي:
$$\begin{array}{rcl}E(x^2)& =& M_X^{\prime \prime }(t=0)\\ & =& {\frac{2\lambda (\lambda -t)}{{(\lambda -t)}^4}|}_{t=0}\\ & =& {\frac{2\lambda }{{(\lambda -t)}^3}|}_{t=0}\\ & =& \frac{2}{{\lambda }^2}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}Var(x)& =& E(x^2)-{\left[E\left(x\right)\right]}^2\\ & =& \frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}\\ & =& \frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$$

مثال(2): الدالة المولدة للعزوم للتوزيع ذات الحدين

نفرض أن المتغير $X$ يتبع توزيع ذات الحدين (Binomial distribution)، حيث أن دالة الكتلة الإحتمالية(probability mass function) تعطى كما يلي:

$$f(x;p)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{n-x}$$

بالتالي الدالة المولدة للعزوم  $M_X(t)$ (the moment generating function) يمكن حسابها كما يلي

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& =\mathrm{E}(e^{tx})\\ & =\sum _{x=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x})p^x(1-p{)}^{n-x}{e}^{tx}\\ & =\sum _{x=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}){\left(p{e}^t\right)}^x(1-p{)}^{n-x}\\ & ={[p{e}^t+(1-p)]}^n\end{array}$$