مثال(1): الدالة المولدة للعزوم للتوزيع الأسي
نفرض أن $X$ يتبع التوزيع الأسي (Exponential distribution)، حيث أن دالة الكثافة الإحتمالية (probability density function) تعطى كما يلي:
\[
f\left( x;\lambda \right) =\lambda e^{-\lambda x},x\geq 0.
\]
بالتالي الدالة المولدة للعزوم (the moment generating function) يمكن إيجادها كما يلي:
\begin{eqnarray*}
M_{X}\left( t\right) &=&E\left( e^{tx}\right) \\
&=&\int_{0}^{\infty }e^{tx}\lambda e^{-\lambda x}dx \\
&=&\lambda \int_{0}^{\infty }e^{\left( t-\lambda \right) x}dx \\
&=&\frac{\lambda -t}{\lambda -t}\times \lambda \int_{0}^{\infty }e^{-\left(
\lambda -t\right) x}dx \\
&=&\frac{\lambda }{\lambda -t}\underset{1}{\underbrace{\int_{0}^{\infty
}\left( \lambda -t\right) e^{-\left( \lambda -t\right) x}dx}} \\
&=&\frac{\lambda }{\lambda -t},t<\lambda
\end{eqnarray*}
يمكن حساب التوقع كما يلي:
\begin{eqnarray*}
E(x) &=&M_{X}^{\prime }\left( t=0\right) \\
&=&\left. \frac{\lambda }{\left( \lambda -t\right) ^{2}}\right\vert _{t=0} \\
&=&\frac{1}{\lambda }
\end{eqnarray*}
كذلك، يمكن حساب التباين كما يلي:
\begin{eqnarray*}
E(x^{2}) &=&M_{X}^{\prime \prime }\left( t=0\right) \\
&=&\left. \frac{2\lambda \left( \lambda -t\right) }{\left( \lambda -t\right)
^{4}}\right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \frac{2\lambda }{\left( \lambda -t\right) ^{3}}\right\vert _{t=0}
\\
&=&\frac{2}{\lambda ^{2}}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
Var(x) &=&E(x^{2})-\left[ E\left( x\right) \right] ^{2} \\
&=&\frac{2}{\lambda ^{2}}-\frac{1}{\lambda ^{2}} \\
&=&\frac{1}{\lambda ^{2}}
\end{eqnarray*}
مثال(2): الدالة المولدة للعزوم للتوزيع ذات الحدين
نفرض أن المتغير $X$ يتبع توزيع ذات الحدين (Binomial distribution)، حيث أن دالة الكتلة الإحتمالية(probability mass function) تعطى كما يلي:
\[
f(x;p)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}
\]
بالتالي الدالة المولدة للعزوم $M_{X}(t)$ (the moment generating function) يمكن حسابها كما يلي
\begin{align*}
M_{X}(t)
&=\mathrm{E}(e^{tx})\\
&=\sum_{x=0}^n\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}e^{tx}\\
&=\sum_{x=0}^n\binom{n}{x}\left(pe^t\right)^x(1-p)^{n-x}\\
&=\left[pe^t+(1-p)\right]^n
\end{align*}