نفرض أن $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ عينه عشوائيه مستقله لها التوقع الرياضي $E(x_{i})=\mu$ والتباين $Var(x_{i})=\sigma ^{2}$. إذا كانت:
\[
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}
\]
و
\[
s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-\overline{x}\right) ^{2}.
\]
فإن يمكن إثبات أن $\overline{x}$ تقدير غير منحاز للمَعلم (البارامتر) $\mu $. كذلك، $s^{2}$ تقدير منحاز للمَعلم (البارامتر) $\sigma ^{2}$
نحن نعلم إن الإنحياز لأي تقدير للمَعلم (البارامتر) $\widehat{\theta }$ يمكن حسابه من خلال:
\[
bias(\widehat{\theta })=E(\widehat{\theta })-\theta
\]
بالتالي:
\begin{eqnarray*}
E(\overline{x}) &=&E\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \\
&=&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(x_{i}) \\
&=&\frac{1}{n}n\mu \\
&&\mu
\end{eqnarray*}
\[
bias(\overline{x})=\mu -\mu =0
\]
هذا يعني أن $\overline{x}$ تقدير غير منحاز للمَعلم (البارامتر) $\mu $.
أيضاً:
\begin{eqnarray*}
E\left( s^{2}\right) &=&E\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-%
\overline{x}\right) ^{2}\right) \\
&=&E\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}^{2}-2\overline{x}x_{i}-%
\overline{x}^{2}\right) \right) \\
&=&E\left( \left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right] -2\overline{x}%
\underset{\overline{x}}{\underbrace{\left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}%
\right] }}-\overline{x}^{2}\right) \\
&=&E\left( \left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right] -2\overline{x}%
^{2}+\overline{x}^{2}\right) \\
&=&E\left( \left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right] -\overline{x}%
^{2}\right) \\
&=&\left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E\left( x_{i}^{2}\right) \right] -E\left(
\overline{x}^{2}\right) \text{———–(1)}
\end{eqnarray*}
نحن نعلم أن:
\[
Var(x_{i})=E(x_{i}^{2})-\left[ E(x_{i})\right] ^{2}
\]
هذا يعني أن:
\begin{eqnarray*}
E(x_{i}^{2}) &=&Var(x_{i})+\left[ E(x_{i})\right] ^{2} \text{———–(2)} \\
&=&\sigma ^{2}+\mu ^{2}
\end{eqnarray*}
أيضاً:
\[
E(\overline{x}^{2})=Var(\overline{x})+\left[ E(\overline{x})\right] ^{2}
\]
حيث:
\begin{eqnarray*}
Var(\overline{x}) &=&Var\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \\
&=&\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}Var\left( x_{i}\right) \\
&=&\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\sigma ^{2} \\
&=&\frac{1}{n^{2}}n\sigma ^{2} \\
&=&\frac{1}{n}\sigma ^{2}
\end{eqnarray*}
وبالتالي:
\begin{equation*}
E(\overline{x}^{2})=\frac{1}{n}\sigma ^{2}+\mu ^{2} \text{———–(3)}
\end{equation*}
بتعويض (2) و (3) في (4)، نجد أن:
\begin{eqnarray*}
E(s^{2}) &=&\left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E\left( x_{i}^{2}\right) \right]
-E\left( \overline{x}^{2}\right) \\
&=&\left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( \sigma ^{2}+\mu ^{2}\right) \right]
-\left( \frac{1}{n}\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right) \\
&=&\sigma ^{2}+\mu ^{2}-\frac{1}{n}\sigma ^{2}-\mu ^{2} \\
&=&\sigma ^{2}-\frac{1}{n}\sigma ^{2} \\
&=&\left( \frac{n-1}{n}\right) \sigma ^{2}
\end{eqnarray*}
وبالتالي:
\begin{eqnarray*}
bias(s^{2}) &=&\sigma ^{2}-\frac{1}{n}\sigma ^{2}-\sigma ^{2} \\
&=&-\frac{1}{n}\sigma ^{2}
\end{eqnarray*}
لتصحيح إنحياز التقدير $s^{2},$ نستطيع إستخدام التقدير $\widehat{s}^{2}$
\begin{eqnarray*}
\widehat{s}^{2} &=&\left( \frac{n}{n-1}\right) s^{2} \\
&=&\left( \frac{n}{n-1}\right) \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-%
\overline{x}\right) ^{2} \\
&=&\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-\overline{x}\right) ^{2}
\end{eqnarray*}