حساب إنحياز تقدير الوسط الحسابي والتباين

نفرض أن $x_1,x_2,\dots ,x_n$ عينه عشوائيه مستقله لها التوقع الرياضي $E(x_i)=\mu$ والتباين $Var(x_i)={\sigma }^2$. إذا كانت:

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

و

$$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2.$$

فإن يمكن إثبات أن $\bar{x}$ تقدير غير منحاز للمَعلم (البارامتر) $\mu$. كذلك، $s^2$ تقدير منحاز للمَعلم (البارامتر) ${\sigma }^2$

نحن نعلم إن الإنحياز لأي تقدير للمَعلم (البارامتر) $\hat{\theta }$ يمكن حسابه من خلال:

$$bias(\hat{\theta })=E(\hat{\theta })-\theta$$

بالتالي:

$$\begin{array}{rcl}E(\bar{x})& =& E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\\ & =& \frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(x_i)\\ & =& \frac{1}{n}n\mu \\ & & \mu \end{array}$$

$$bias(\bar{x})=\mu -\mu =0$$

هذا يعني أن $\bar{x}$ تقدير غير منحاز للمَعلم (البارامتر) $\mu$.

أيضاً:

$$\begin{array}{rcl}E\left(s^2\right)& =& E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2\right)\\ & =& E\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i^2-2\bar{x}{x}_i-{\bar{x}}^2)\right)\\ & =& E(\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right]-2\bar{x}\underset{\bar{x}}{\underbrace{\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\right]}}-{\bar{x}}^2)\\ & =& E(\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right]-2{\bar{x}}^2+{\bar{x}}^2)\\ & =& E(\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right]-{\bar{x}}^2)\\ & =& \left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E\left(x_i^2\right)\right]-E\left({\bar{x}}^2\right)\text{———–(1)}\end{array}$$

نحن نعلم أن:

$$Var(x_i)=E(x_i^2)-{[E(x_i)]}^2$$

هذا يعني أن:

$$\begin{array}{rcl}E(x_i^2)& =& Var(x_i)+{[E(x_i)]}^2\text{———–(2)}\\ & =& {\sigma }^2+{\mu }^2\end{array}$$

أيضاً:

$$E({\bar{x}}^2)=Var(\bar{x})+{[E(\bar{x})]}^2$$

حيث:

$$\begin{array}{rcl}Var(\bar{x})& =& Var\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\\ & =& \frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}Var\left(x_i\right)\\ & =& \frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n{\sigma }^2\\ & =& \frac{1}{n^2}n{\sigma }^2\\ & =& \frac{1}{n}{\sigma }^2\end{array}$$

وبالتالي:

$$E({\bar{x}}^2)=\frac{1}{n}{\sigma }^2+{\mu }^2\text{———–(3)}$$

بتعويض (2) و (3) في (4)، نجد أن:

$$\begin{array}{rcl}E(s^2)& =& \left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E\left(x_i^2\right)\right]-E\left({\bar{x}}^2\right)\\ & =& \left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n({\sigma }^2+{\mu }^2)\right]-(\frac{1}{n}{\sigma }^2+{\mu }^2)\\ & =& {\sigma }^2+{\mu }^2-\frac{1}{n}{\sigma }^2-{\mu }^2\\ & =& {\sigma }^2-\frac{1}{n}{\sigma }^2\\ & =& \left(\frac{n-1}{n}\right){\sigma }^2\end{array}$$

وبالتالي:

$$\begin{array}{rcl}bias(s^2)& =& {\sigma }^2-\frac{1}{n}{\sigma }^2-{\sigma }^2\\ & =& -\frac{1}{n}{\sigma }^2\end{array}$$

لتصحيح إنحياز التقدير $s^2,$ نستطيع إستخدام التقدير ${\hat{s}}^2$

$$\begin{array}{rcl}{\hat{s}}^2& =& \left(\frac{n}{n-1}\right)s^2\\ & =& \left(\frac{n}{n-1}\right)\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2\\ & =& \frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2\end{array}$$