نفرض أن $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ عينة عشوائية تتبع توزيع برنولي ( Bernoulli distribution)، حيث أن دالة الكثافة الإحتمالية (the probability density function) يمكن كتابتها كما يلي:
\[
f\left( x_{i};p\right) =p^{x_{i}}\left( 1-p\right) ^{1-x_{i}}
\]
بالتالي دالة الإحتمال (Likelihood function) يمكن كتابتها كما يلي:
\begin{eqnarray*}
L\left( \mathbf{x}|p\right) &=&\prod\limits_{i=1}^{n}p^{x_{i}}\left(
1-p\right) ^{1-x_{i}} \\
&=&p^{\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}}\left( 1-p\right)
^{n-\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}}
\end{eqnarray*}
كذلك، بأخد اللوغاريم الطبيعي لدالة الإحتمال، نجد أن:
\begin{eqnarray*}
l\left( \mathbf{x}|p\right) &=&\log \left(
p^{\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}}\left( 1-p\right)
^{n-\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}}\right) \\
&=&\left( \sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}\right) \log \left( p\right) +\left(
n-\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}\right) \log \left( 1-p\right)
\end{eqnarray*}
الأن، نشتق $l\left( \mathbf{x}|p\right) $ بالنسبة لـ $p$
\[
\frac{\partial l\left( \mathbf{x}|p\right) }{\partial p}=\frac{1}{p}%
\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}-\frac{1}{1-p}\left(
n-\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}\right)
\]
نضع $\frac{\partial l\left( \mathbf{x}|p\right) }{\partial p}$ تساوي صفر
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{p}\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}-\frac{1}{1-p}\left(
n-\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}\right) &=&0 \\
\frac{1}{p}\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}-\frac{n}{1-p}+\frac{1}{1-p}%
\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i} &=&0
\end{eqnarray*}
نضرب الطرفين بـ $p(1-p)$
\begin{eqnarray*}
(1-p)\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i}-np+p\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i} &=&0 \\
-np+\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i} &=&0
\end{eqnarray*}
وبالتالي:
\begin{eqnarray*}
p &=&\frac{1}{n}\sum\nolimits_{i=1}^{n}x_{i} \\
&=&\bar{x}
\end{eqnarray*}
أخيراً، تقدير الإحتمال الأرجح (maximum likelihood estimator) يساوي:
\[
\hat{p}=\bar{x}
\]